Vääristymä  ja perusoptiikka

Tavanomaiseen tapaan myös Canon G1:n objektiivissä on laajakulmaisemmassa päässä melkoisesti kuvageometrian vääristymää, eli distortiota. Laajakulmaobjektiivien vääristymä on lähes aina negatiivista, jota useimmin kutsutaan tynnyrivääristymäksi. Tällä sivulla on esitetty käytetty menetelmä vääristymän määrittämiseksi ja lasketut tulokset.

h = f * tan(k)

Ideaalitapauksessa näin onkin tilanne kun objektiivissa ei ole vääristymää. Jos kuvauksessa on tynnyrivääristymää, saa kaava muodon (2):

h = f * tan(k) - virhe

Tässä tarkastelussa oletettu virhe aina arvoltaan positiiviseksi. Tyynyvääristymän ollessa kyseessä kaavassa on plusmerkki. 

Vääristymän olemukseen kuuluu, että se yleensä kasvaa kulman k kasvaessa. Kaavan mukaan kohteessa etäämmällä olevat kohteet kuvautuvat lähemmäksi kuvan keskustaa, kuin niiden tulisi kuvautua virheettömän optiikan ollessa kyseessä. Ajatusta paperille hahmottamalla todetaan suorakulmaisten kappaleiden vääristyvän tynnyrimäisiksi, mistä tulee ilmiön nimi. 

Tynnyrivääristymä johtuu optisista lainalaisuuksista ja kompromisseista, joita optiikan suunnittelussa joudutaan tekemään. Tavanomaisessa kuvauksessa ei vääristymistä ole juuri haittaa. Kiusallista vääristymä voi olla kuvissa, joissa esiintyy pitkiä suoria linjoja. Käytännössä kinokameralla sisätiloissa kuvaava kohtaa kyllä ilmiön.

Tieteellisessä ja teknisessä kuvauksessa on usein tarpeita mitata kuvasta erilaisia asioita, joita vääristymä voisi haitata. Tällöin tarvitaan tietoa vääristymän suuruudesta, jolloin kuvausvirheet voidaan laskennallisesti korjata.

Käytännössä kaikissa objektiiveissa esiintyy jossain määrin vääristymää. Nyrkkisäännön mukaan alle 1 %:n vääristymä ei haittaa katsojaa. Lyhimmissä kinokoon laajakulmissa vääristymää on yli 3%, samoin zoomien laajakulmapäässä esiintyy yleensä melkoisesti vääristymää.

Digikameroilla vääristymän määrittäminen on varsin helppoa, koska kuvan korkeus h voidaan hyvin helposti laskea pikseleiden osoitteista. Ongelmaksi jää löytää kohde, jossa on detaljeja tunnettujen välimatkojen päässä.

Sellaisen tarjoaa tähtitaivas.

Tähtitaivas tarjoaa lähes ihanteellisen kohteen kuvausgeometrian selvittämiseen. Tähdet ovat pistemäisiä kohteita, joiden sijainti tunnetaan erinomaisen tarkasti. Siis kamera jalustalle, tarkennus äärettömään ja laajakulma-asennossa kahdeksan sekunnin valotus. 

Seuraavaksi olikin vuorossa hieman kuvan käsittelyä, tähtien tunnistamista tähtikarttaohjelman avulla ja muutama tunti taulukkolaskennan ääressä. 

Ensimmäiseksi määritin kuvan keskikohdan taivaalla. Tunnistin kymmenkunta tähteä kuvan keskustasta, laskin kuvasta niiden etäisyydet kuvan keskustaan, hain karttaohjelmalla tähtien koordinaatit ja selvitin taulukkolaskennalla pisteen, joka etäisyyksien virheen neliösummaa minimoiden parhaiten sopi keskipisteen koordinaatiksi. 

Tähtien paikan kuvassa arvioin silmämääräisesti. Suurensin tähden alueen 1600 %:iin ja arvioin tähden keskipisteen sijainnin. Tähden kuva leviää tyypillisesti n. 5*5 pikselin alueelle. Arvion tähden keskipisteen paikasta tein pikselin kymmenesosan tarkkuudella. 

Varsinaista vääristymän määritystä varten selvitin lähes kahdenkymmenen pisteen sijainnin kuvassa ja taivaalla. 

Mittaukset ja tulokset

Oma kaava on kaava, joka ottaa huomioon kameran vääristymän. Kaava antaa kuvan keskustasta tunnetulla kulmaetäisyydellä olevan kohteen paikan pikseleissä. Kaava (3) on muotoa:

pikselietäisyys = 2063,5 * tan(k) - A * k^2 - B * k^3 - C * k^4

Kaavassa k on asteina oleva kulman arvo. Kertoimet A, B ja C löytyvät taulukon oikeasta ylänurkasta. Kaavan kertoimet on laskettu minimoimalla virheen neliösummaa. Samaan tarkoitukseen voi kehittää aineistoa laajentamalla tarkempiakin kaavoja. Kaavan muoto haettu muutamalla kokeilulla. Korjauskertoimissa osoittautui kulman käyttö ensinnä mieleen tulevaa tangenttia tarkemmaksi. Viimeisessä sarakkeessa luodun kaavan ja mittaustulosten erot pikseleinä. 

Mistä sitten tulee kaavan alussa oleva kerroin 2063,5?

Asialla on kaavamme polttoväli.Vääristymää laskettaessa ei tarvita tietoa todellisista mitoista. Vain kulmat ja keskenään vertailukelpoiset etäisyydet riittävät vääristymän ratkaisuun. Sijoitetaan vaikkapa kolmantena olevan tähden, mu Leo, arvot kaavaan (1):

h = f * tan(k)

84,89 = f * tan(2,355)

saadaan f = 2064,2

Hieman poikkeava kaavan kerroin on useamman lähtöarvon avulla saadun keskiarvon pyöristetty tulos.

Johtopäätöksiä ja laskelmia

Koska yllä olevassa tarkastelussa oli yksikkönä pikseliväli, niin myös tulos ilmaisee asian pikseleissä. Siis objektiivimme polttoväli on melkoisen tarkoin 2064 * pikseliväli. Linssitiedon mukaan Canon G1:n laajakulmapään polttoväli on 7 mm. Tällöin pikselien väli on tuo 7 mm jaettuna 2064:lla = n. 3,39 mikronia. Jostain internetin kätköistä löytynee Canonin käyttämän ccd:n datalehti, josta saatavaa arvoa voi verrata edellä laskettuun. Mahdollinen tiedon löytäjä voisi myös ystävällisesti ilmoittaa asian tämän kirjoittajalle.

Saman tähden arvoja käyttämällä voidaan laskea myös laajakulma-asetuksen kuvaussuhde. Jakamalla pikselit asteilla todetaan, että yksi aste kuvautuu ccd:llä n. 36:n pikselin matkalle. Koska yksi kulma-aste on 3600 kulmasekuntia, niin yksi pikseli vastaa 100:n kulmasekunnin aluetta.

Laajakulma-asennossa Canon G1:n kuvakulma nurkasta nurkkaan on 65,6 astetta.

Pyrkimys runsaspikselisiin kennoihin ja huokeaan valmistustekniikkaan tuottaa alati pieneneviä kennon alkioita. Pienen kennon ongelmia ovat pienestä kvanttikaivosta johtuva huono dynamiikka, mekaaniset tarkkuusongelmat, optiikan resoluution sovittaminen kennon elementtien vaatimuksiin ym.

Edellä esitetty tarkastelu ei ulotu aivan kennon äärimmäiseen reunaan. Laitimmainen mitattu tähti oli runsaan 1200 pikselin päässä kennon keskikohdasta. Tälläisella 2048 * 1536 kennollahan nurkkapikseliin on matkaa 1280 pikseliä. Näiltäkin osin tarkastelua olisi mahdollista myöhemmin täsmentää.

Punaista saraketta katsomalla havaitaan laitimmaisen pikselin paikan poikkeavan vääristymän johdosta n. 3,5 % oikeasta paikastaan. Kyseessä lienee melkoisen tyypillinen arvo tällaiselle objektiiville.

Vääristymä taulukkona ja käyränä

Taulukko antaa eri kulmaetäisyyksillä olevien kohteiden etäisyyden pikseleinä. Kulmaetäisyydet ovat asteita. Oikean sarakkeen arvot poikeavat oikeista korkeintaan kaksi pikseliä

Erityisesti on huomattava, että annetut vastaavuudet pätevät vain laskettaessa etäisyyksiä kuvan keskipisteestä. Selvitetystä vastaavuudesta voidaan kuitenkin kohteen geometria muuttaa kuvan koordinaatistoon. Tämän voi tehdä esimerkiksi muuntamalla napakoordinaatistossa olevat kohdepisteet kaavan (3) avulla kameran suorakulmaiseen koordinaatistoon.

Lopputoteama

Yllä oleva kuvaaja esittää Canon G1:n vääristymän kulun. Pystyakselilla pikselin etäisyys kuvan keskiöstä, vaaka-akselilla suhteellinen paikkavirhe. Suurimmillaan vääristymä on kuvan nurkassa yli 3,5 %, joka tarkoittaa kuvageometriassa jo runsaan asteen paikkavirhettä. Käyrä piirrettu vertaamalla laskennallisen kaavan tuloksia havaintoihin.

Ylempänä esitetyn pikselietäisyyden kaavan avulla kuvausgeometriassa oleva virhe voidaan oikaista hyvin suurella tarkkuudella. Koko kuvan alueella on edellä esitettyä menetelmää soveltamalla mahdollista päästä helposti viiden kulmaminuutin paikantamistarkkuuteen.

Edellä esitettyjä menetelmiä käyttämällä on mahdollista selvittää digitaalikameran kuvausgeometria muutaman pikselin tarkkuudella.

Käytännössä näistä menetelmistä voi olla hyötyä valaisevien yöpilvien ja halojen kuvaajille.